3. Distribuições discretas

Introdução à probabilidade

Um modelo probabilístico é um modelo em que, à priori, não é possível definir um resultado particular. Este modelo é especificado por meio de uma distribuição de probabilidade. Geralmente, modelos probabilísticos são utilizados quando se tem um grande número de variáveis influenciando o resultado e estas variáveis não podem ser controladas. Como exemplo, pode-se citar a observação da germinação de uma semente, o lançamento de um dado, onde tenta-se prever o número da face que irá sair, etc.

Distribuição binomial

Seja \(E\) um experimento aleatório e \(\Omega\) um espaço amostra associado, onde \(n\) é o número de vezes que o experimento \(E\) é repetido, \(p\) é a probabilidade de \(\Omega\) ocorrer em cada uma das \(n\) repetições de \(E\). Como existem apenas duas situações (\(\Omega\) ocorre ou \(\Omega\) não ocorre), pode-se determinar a probabilidade de \(\Omega\) não ocorrer como sendo \(q = 1 - p\).

Algumas condições devem ser respeitadas

  • São feitas \(n\) repetições do experimento, onde \(n\) é uma constante;
  • Há apenas dois resultados possíveis em cada repetição, denominados sucesso e falha
  • A probabilidade de sucesso (\(p\)) e de falha \(q\) permanecem constante em todas as repetições;
  • As repetições são independentes, ou seja, o resultado de uma repetição não é influenciado por outros resultados.

Se \(X\) é uma variável aleatória com um comportamento Binomial, então a probabilidade de \(X\) assumir um dos valores \(k\) do conjunto \(\Omega\) é calculada por:

\[ P(X = k) = \left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right) \times {p^k} \times {q^{n - k}} \]

Onde:

  • \(p\) é probabilidade de sucesso;
  • \(q\) é probabilidade de fracasso;
  • \(k\) é número de sucessos;
  • \(n\) é tamanho amostral (número de experimentos).

Um exemplo simples

Consideremos a variável aleatória discreta X como o sexo de um bezerro nascido. Denotando sucesso (1 = fêmea) e fracasso (2 = macho), a probabilidade de sucesso é \(p = 0,5\) e a de fracasso \(q = 1 - q = 0,5\). Assim, considerando o parto de uma vaca, há 50% de chance de nascimento de uma terneira.

library(DiagrammeR)
mermaid("
   graph TB
    Start -->|0,5|A(1)
    Start -->|0,5|B(0)
")

Considerando duas vacas prenhas, com a mesma probabilidade de nascimento de fêmeas, temos então o seguinte cenário.

flowchart
    Start --> |0,5|A(1)
    Start --> |0,5|B(0)
    A --> |0,5|C(1)
    A --> |0,5|D(0)
    B --> |0,5|E(1)
    B --> |0,5|F(0)
    C --> G(11 = pp)
    D --> H(10 = pq)
    E --> I(01 = qp)
    F --> J(00 = qq)

Assim, as probabilidades associadas ao número de nascimentos de bezzeras são dadas por

  • Nenhuma bezerra

\[ P(X = 0) = \left( \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right) \times {0,5^0} \times {0,5^{2 - 0}} = 0,25 \]

  • Uma bezerra

\[ P(X = 1) = \left( \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right) \times {0,5^1} \times {0,5^{2 - 1}} = 0,50 \]

  • Duas bezerras

\[ P(X = 2) = \left( \begin{array}{l}2\\2\end{array} \right) \times {0,5^2} \times {0,5^{2 - 2}} = 0,25 \]

No software R, a probabilidade de sucesso de um evento para uma variável que segue uma distribuição binomial é computada com a função dbinom().

args(dbinom)
function (x, size, prob, log = FALSE) 
NULL
  • x é o vetor de quantiles (sucesso);
  • size é o número de experimentos (repetições);
  • prob é a probabilidade de sucesso em cada experimento aleatório.
library(tibble)
data.frame(nbez = 0:2,
           prob = dbinom(0:2, size = 2, prob = 0.5))
  nbez prob
1    0 0.25
2    1 0.50
3    2 0.25

A mesma lógica é utilizada para uma situação onde três vacas estão prenhas. Assim, \(n = 3\), gera o seguinte cenário.

mermaid("
   graph TB
    Start --> |0,5|A(1)
    Start --> |0,5|B(0)
    A --> |0,5|C(1)
    A --> |0,5|D(0)
    B --> |0,5|E(1)
    B --> |0,5|F(0)
    C --> |0,5|G(1)
    C --> |0,5|H(0)
    D --> |0,5|I(1)
    D --> |0,5|J(0)
    E --> |0,5|K(1)
    E --> |0,5|L(0)
    F --> |0,5|M(1)
    F --> |0,5|N(0)
    G --> O(111 = ppp)
    H --> P(110 = ppq)
    I --> Q(101 = pqp)
    J --> R(100 = pqq)
    K --> S(011 = qpp)
    L --> T(010 = qpq)
    M --> U(001 = qqp)
    N --> V(000 = qqq)
")
data.frame(n_femeas = 0:3,
           prob = dbinom(0:3, size = 3, prob = 0.5))
  n_femeas  prob
1        0 0.125
2        1 0.375
3        2 0.375
4        3 0.125

Exercício bezerro

Um produtor possui quatro vacas prenhas de monta natural. Como está cursando a disciplina de Bioestatística, ele gostaria de calcular probabilidades associadas ao nascimento de bezerras fêmeas.

library(tibble)
bezerros <- 
  tibble(nbez = 0:4,
         prob = dbinom(x = 0:4, size = 4, prob = 0.5),
         prob_ac = cumsum(prob),
         prob_ac_inv = rev(prob_ac))
bezerros
# A tibble: 5 × 4
   nbez   prob prob_ac prob_ac_inv
  <int>  <dbl>   <dbl>       <dbl>
1     0 0.0625  0.0625      1     
2     1 0.25    0.313       0.938 
3     2 0.375   0.688       0.688 
4     3 0.25    0.938       0.313 
5     4 0.0625  1           0.0625
# Gráfico da distribuição
library(tidyverse)
ggplot(bezerros, aes(nbez, prob))+
  geom_bar(stat = "identity",
           col = "black",
           size = 0,
           fill = "cyan")+
  labs(x = "Número de bezerros fêmeas",
       y = "Probabilidade")+
  scale_y_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0.1))) +
  scale_x_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0))) +
  theme_grey(base_size = 14) +
  theme(panel.grid.minor = element_blank())

Exercício questões prova

Considere uma prova de estatística com peso 10 contendo 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Apenas 1 é correta. Se o aluno tirar uma nota inferior a 4, o aluno está reprovado. Notas entre 4 e 7 fazem com que o aluno fique em exame. Se a nota for superior a 7 o aluno passa. Como João não prestou atenção nas aulas de estatística, ele decidiu “chutar” todas as questões. Calcule as probabilidades que se pede.

Probabilidade de não acertar nenhuma questão

dbinom(x = 0, size = 10, prob = 0.2)
[1] 0.1073742

Probabilidade de ser reprovado

João será reprovado caso acerte menos que quatro questões. Logo, a soma as probabilidades de acertar 0, 1, 2 e 3 questões é esta probabilidade.

dbinom(x = 0:3, size = 10, prob = 0.2) %>% sum()
[1] 0.8791261

Probabilidade de ficar em exame

João ficará em exame caso acerte entre 4 e 7 questões. Logo, a probabilidade de ficar em exame será a soma das probabilidades individuais destes números de questões.

dbinom(x = 4:7, size = 10, prob = 0.2) %>% sum()
[1] 0.120796

Passe na prova

João somente passará na prova, caso acerte mais que sete questões. Valendo-se da propriedade da soma das probabilidades, a probabilidade de João passar na prova é data tanto somando-se as probabilidades de acertar 8, 9 e 10 questões, quanto subtraindo a unidade da probabilidade da soma de acerto de até 7 questões.

dbinom(x = 8:10, size = 10, prob = 0.2) %>% sum()
[1] 7.79264e-05
1 - dbinom(0:7, size = 10, prob = 0.2) |> sum()
[1] 7.79264e-05

Gabarite a prova

A probabilidade de acerto de 10 questões é dada pela probabilidade pontual de exatamente 10 sucessos em 10 tentativas.

dbinom(x = 10, size = 10, prob = 0.2)
[1] 1.024e-07
Mostrar código 
prova <- 
  tibble(nques = 0:10,
         prob = dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 0.2),
         prob_ac = cumsum(prob))


ggplot(prova, aes(nques, prob, label = round(prob, 4)))+
  geom_bar(stat = "identity",
           col = "black",
           fill = "cyan")+
  scale_x_continuous(breaks = c(0:10))+
  labs(x = "Número de questões",
       y = "Probabilidade")+
  ggtitle(label = "Probabilidade de acerto em uma prova de 10 questões",
          subtitle = "Cada questão tem 5 alternativas, apenas 1 é correta")+
  scale_y_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0.1)))+
  geom_text(vjust = -1) +
  theme_grey(base_size = 14) +
  theme(panel.grid.minor = element_blank())

Mostrar código 
# distribuição acumulada

ggplot(prova, aes(nques, prob_ac))+
  geom_path(color = "red", size = 1)+
  labs(x = "Número de questões",
       y = "Probabilidade acumulada")+
  ggtitle(label = "Probabilidade acumulada de acertar 10 questões 'chutando' todas",
          subtitle = "Cada questão tem 5 alternativas, apenas 1 é correta")+
  scale_x_continuous(breaks = c(0:10)) +
  theme_grey(base_size = 14) +
  theme(panel.grid.minor = element_blank())

Exercício germinação de sementes

Uma empresa produtora de sementes de moranga vende pacotes com 20 sementes cada. O percentual de germinação destas sementes é de 92%. A empresa garante que pacotes que contém menos de 18 sementes germinadas são indenizados na metade do valor de venda. Se você comprou um pacote de sementes desta empresa a probabilidade de ser indenizado é de:

dbinom(0:17, size = 20, prob = 0.92) |> sum()
[1] 0.2120538

Exercício nascimento de bezerros

A inseminação artificial (IA) é uma das biotecnias da reprodução bovina mais importante e utilizada visando o melhoramento genético do rebanho. O uso de sêmem sexado é uma tecnologia em que os espermatozoides que vão resultar na escolha do sexo que o criador deseja, são separados daqueles que resultariam em machos após a fecundação do óvulo. Ou seja, ao final do processo obtêm-se uma paleta de sêmen com predominância de espermatozoides “fêmeas” ou “Machos”, dependendo da escolha. Portanto, a sexagem de espermatozoides permite maximizar a produção animal, possibilitando maior progresso genético entre as gerações1.

Considere um lote de 120 vacas inseminadas com sêmem sexado que contenha a probabilidade de 85% de nascimento de fêmeas. Assumindo um nascimento por fêmea, calcule a probabilidade de:

Todos os bezerros nascidos sejam fêmeas

Neste caso, a probabilidade é dada pela probabilidade pontual de 120 nascimentos de fêmeas.

dbinom(x = 120, size = 120, prob = 0.85)
[1] 3.390557e-09

Pelo menos 90% dos bezerros nascidos sejam fêmeas

Neste caso, precisaríamos de, pelo menos, 108 (120 \(\times\) 0,9) bezerros fêmeas. Então, a probabilidade dessa ocorrência é \(P(X \>= 108) + P(X = 109) + ... + P(X = 120)\)

x <- 
  data.frame(nascimentos = 108:120) |> 
  mutate(prob = dbinom(nascimentos, size = 120, prob = 0.85),
         acum = cumsum(prob))
x
   nascimentos         prob       acum
1          108 3.260600e-02 0.03260600
2          109 2.034136e-02 0.05294736
3          110 1.152677e-02 0.06447412
4          111 5.884537e-03 0.07035866
5          112 2.679566e-03 0.07303823
6          113 1.074988e-03 0.07411322
7          114 3.740456e-04 0.07448726
8          115 1.105874e-04 0.07459785
9          116 2.701129e-05 0.07462486
10         117 5.232956e-06 0.07463009
11         118 7.539004e-07 0.07463085
12         119 7.180004e-08 0.07463092
13         120 3.390557e-09 0.07463092

Multa por ineficiência

O vendedor do sêmen se comprometeu em pagar uma multa de R$10,00 para cada bezerro macho nascido se a taxa de parição de fêmeas fosse menor que 75%. Qual a probabilidade do produtor receber alguma indenização?

O produtor somente será indenizado se nascerem 89 ou menos bezerras. Assim, a probabilidade é dada pela soma das probabilidades individuais de 0 até 89

dbinom(x = 0:89, size = 120, prob = 0.85) |> sum()
[1] 0.001409492
# ou pbinom() que retorna a fdp acumulada
pbinom(q = 89, size = 120, prob = 0.85)
[1] 0.001409492

Abaixo, é possível identificar a distribuição de probabilidade para o exemplo dado.

Mostrar código 
bezerros <- 
  tibble(nbez = 0:120,
         prob = dbinom(x = 0:120, size = 120, prob = 0.85),
         prob_ac = cumsum(prob))


# Gráfico da distribuição
ggplot(bezerros, aes(nbez, prob))+
  geom_bar(stat = "identity",
           col = "black",
           size = 0.05,
           fill = "cyan")+
  labs(x = "Número de bezerros fêmeas",
       y = "Probabilidade") +
  ggtitle(label = "Probabilidade de nascimento de terneiras em 120 partos",
          subtitle = "Sêmen com 85% de probabilidade de nascimento de terneiras")+
  scale_y_continuous(expand = expansion(mult = c(0, 0.1)))+
  scale_x_continuous(breaks = seq(0, 120, 20))

Mostrar código 
# distribuição acumulada

ggplot(bezerros, aes(nbez, prob_ac))+
  geom_path(color = "red", size = 1)+
  labs(x = "Número de fêmeas",
       y = "Probabilidade acumulada")+
  ggtitle(label = "Probabilidade acumulada de nascimento de fêmeas",
          subtitle = "Sêmem sexado com 85% de chance de nascimento de fêmeas")+
  # scale_x_continuous(breaks = c(0:10)) +
  theme_grey(base_size = 14) +
  theme(panel.grid.minor = element_blank())

Tutorial R

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Footnotes

  1. https://cooperativa.coop.br/semen-sexado-entenda-o-que-e/↩︎